N為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±a, 0）及（0, ±b）。 N在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸的曲線，越接近頂點，曲線的曲率越大，頂點的曲率趨近無限大。 橢圓規是畫橢圓的一種儀器，由一根直杆和一個支架構成。 在直杆一端，有一個筆尖，杆上還有兩個調節滑塊(筆桿及滑塊都垂直向下，與直杆垂直)。
- 橢圓也可以被定義為一組點，使得曲線上的每個點的距離與給定點（稱為焦點）的距離與曲線上的相同點的距離的比值給定行（稱為directrix）是一個常數。
- 三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。
- P是AB的中點，O為橢圓的中心，也即此時的原點。
- 解法2很方便得到軌跡方程，但是不方便直接給出精確的取值範圍，所以我們只選擇結合文字說明。
- 刻意考察和鍛鍊學生在代數變形、整體思維方面的能力。
- 下面提供聯立直線與標準橢圓方程的一些通用中間步驟供參考，讀者可以在解題時對照其中的係數，減少計算失誤。
穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且終止於橢圓的線段CD叫做短軸。 半長軸（圖中指示為 a）是長軸的一半：從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。 半短軸（圖中指示為 b）是短軸的一半。 ，如果求出它關於x軸、y軸、原點的對稱點的坐標，也容易發現這些對稱點也都滿足原來的橢圓方程。 都叫做橢圓的焦點（focus，複數形式：foci），它們是該定義下橢圓的構造基礎；c叫做半焦距，它描述了焦點偏離其橢圓幾何中心的程度。 橢圓也可以被定義為一組點，使得曲線上的每個點的距離與給定點（稱為焦點）的距離與曲線上的相同點的距離的比值給定行（稱為directrix）是一個常數。
橢圓畫法: 橢圓規
具體操作可看圖2、圖3（點擊看動態圖）。 2010年3月9日，中華民國立法委員洪秀柱曾用3道題橢圓與拋物線的問題考當時的台灣教育部長，結果對方沒能在指定時限內成功給出解答。 洪以此事作為判斷文科生學習橢圓等相關知識無用的依據。 2.在圓上任意畫一點E，並構造線段EF1和線段EF2。 選中線段EF2，執行“構造”—“中點”命令，構造線段EF2的中點F。
分別以O2和O4為圓心，O2C（或O4D）為半徑畫兩弧。 再分別以O1和O3為圓心，O1A（或O3B）為半徑畫兩弧，使所畫四弧的接點分別位於O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延長線上，即得所求的橢圓。 3.選中線段EF2和點F，執行“構造”—“垂線”命令，構造出線段EF2的垂直平分線j。 同時選中線段EF1和直線j，選擇“構造”—“交點”命令，構造線段EF1和直線j的交點G。 3.分別過小圓的等分點作水平線，過大圓的等分點作豎直線，其對應的交點就是橢圓圓周上的點，依次連接既可。
橢圓畫法: 橢圓基本性質
如果將這個方程中的新x’當作普通的x，新y’當作普通的y，一起代入橢圓的標準方程，易知符合橢圓的方程。 因此，這就是以t為參變量的橢圓的參數方程（parametric equation of an ellipse）。 而處於橢圓焦點位置上的就是它們共同的質量中心。 只不過由於這些天體一般質量遠大於衛星，所以看起來是中心天體處於焦點的位置。 我們就把橢圓的中心對稱點（對稱中心）叫做橢圓的中心（center of an ellispe）。 提示：解析幾何里所說的橢圓一律是指橢圓圖形的輪廓線，也就是橢圓周。
- 其次，橢圓的方程有一定的複雜性，在二次曲線的方程研究中具有代表性。
- 有興趣的讀者可以參閱仿射幾何的相關知識。
- 長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。
- 過點F的一動直線m繞點F轉動，並且交橢圓於A、B兩點。
- 穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且終止於橢圓的線段CD叫做短軸。
接下來，我們會採用一種更便於作圖的方法定義並推導出橢圓的方程。 在平面解析幾何中，對橢圓的知識考察比例是最重的，而且綜合考試中解析幾何板塊的大解答題一般都是考橢圓。 其一，橢圓是封閉圖形，許多幾何性質易於從直觀上理解和把握。 其次，橢圓的方程有一定的複雜性，在二次曲線的方程研究中具有代表性。 由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。
橢圓畫法: 橢圓
在支架上，有兩條相交成直角的導向槽，把調節滑塊分別放在其中，轉動直杆，它的兩端就會畫出橢圓來。 橢圓畫法[year] 求橢圓在某點處的切線方程，就是求與橢圓只有一個交點並通過指定點的直線。 可以先設出通過給定點的切線方程，聯立直線與橢圓方程後，再通過令判別式取零來求解。
橢圓畫法: 橢圓系方程
移動滑標，其下面的旋杆能作360°的旋動畫出符合橢圓方程的橢圓。 對橢圓（或橢球）的標準化處理是很常用的技巧，例如剛體力學中尋找轉動慣量的慣量主軸、統計學中主成分分析都要用到。 提示：焦點的英文複數形式「foci」讀作/ˈfəʊ.kʰaɪ/（英式）或/ˈfoʊ.sʰaɪ/（美式）。 希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。 其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。
橢圓畫法: 相關條目
環線作圖方法，屬於連續移動作圖法，適合不同大小的圓、橢圓和卵圓等作圖。 橢圓是封閉式圓錐截面：由錐體與平面相交的平面曲線。 橢圓畫法 橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。
橢圓畫法: 橢圓規用法
圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面垂直於圓柱體軸線。 4.選中點G和點E（把點E稱做是點G的相關點，改變G點的位置，點E的位置也跟著改變），選擇“構造”—“軌跡”命令，可畫出橢圓。 手工作法：先剪下一張圓紙片，在圓心之外任意取一點，然後把圓紙片的邊緣折到這個點上得一條摺痕。 同樣方法折出盡可能多的摺痕，這些摺痕的包絡，就是一個橢圓。 這個參數方程揭示了兩個方向相互垂直的簡諧運動(表現為具有周期性的簡諧波)合成了閉合的橢圓形周期性運動（表現為軌跡是橢圓）。 存在2個解，所以剛好就有有判別式大於0這個條件可以用上。
橢圓畫法: 橢圓手繪法二
這個參數方程揭示了2個方向相互垂直的簡諧運動可以合成閉合的橢圓形周期性運動。 關於簡諧運動合成效果的更一般的情形，可以見於常見平面曲線及其參數方程一節的介紹。 ，本節前文中又提到橢圓可視為是由圓通過伸縮變化得到的圖形，由此不難料想橢圓也存在與之形式相似的參數方程。 過點F的一動直線m繞點F轉動，並且交橢圓於A、B兩點。 P是AB的中點，O為橢圓的中心，也即此時的原點。 求證直線AB和直線OP的斜率之積是定值。
橢圓畫法: 橢圓規概念
最一個容易的想到的方法是考察長短軸的比例值。 當長軸和短軸的長度接近時，就表示橢圓接近圓形；反之則偏離圓形，變得比較扁。 橢圓畫法[year] 合理地選擇坐標系能夠極大地簡化運算過程。 所以我們優先選擇把橢圓的焦點固定在坐標軸上，對於這種標準橢圓的分析和計算會相對容易很多。
橢圓畫法: 橢圓規新型橢圓規
前文所提到的數學家拉伊爾曾給出關於參數t的確切幾何含義。 提示：有關圓與橢圓之間伸縮變換的知識是大學階段「解析幾何」或「高等幾何」課程的知識點，在高中階段可能也會在仿射矩陣知識中有所接觸，但一般並不是高中解析幾何的學習內容。 有興趣的讀者可以參閱仿射幾何的相關知識。 有一些習題或考題會隱蔽地涉及到在仿射變換下對圓與橢圓同時都成立的命題。 定理2：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。 若直線AB為C在P點的法線，則AB平分∠F1PF2。
橢圓畫法: 橢圓標準方程
在論證橢圓的幾何性質時，我們往往只需要巧妙選擇坐標系，針對焦點在x軸的標準橢圓進行處理，此時得到的結論也會適用於朝向不同方位的其它橢圓。 穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段AB叫做長軸。 長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。
橢圓畫法: 橢圓規精確畫法
7、然後以O1為圓心，O1A長為半徑畫圓；以O3為圓心，O3B長為半徑畫圓；以O2為圓心，O2C長為半徑畫圓；以O4為圓心，O4D長為半徑畫圓。 1、第一步做垂直相交的兩條直線，在上面確定A、B、C、D、O五個點，AB為長軸，CD為短軸，O為中心點。 橢圓可以被看作是圓的投影：在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin 橢圓畫法[year] φ 的橢圓，假定 φ 不是 90°。 如圖1， 滑動點A和B在兩條夾縫中移動.PAB是槓桿上相連的三點。
橢圓畫法: 焦點弦問題與焦半徑公式補充
三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。 下面是利用長半軸a和半焦距c來確定橢圓的形狀和大小。 在戰國早期甚至更早的時候，中國的先民就已經發明並在使用圓規。 經過數百年的使用與摸索，人們可以利用圓規熟練地進行較簡單的機械製圖，或製作銅鏡背紋中的一些幾何紋飾。
解法2很方便得到軌跡方程，但是不方便直接給出精確的取值範圍，所以我們只選擇結合文字說明。 下面提供聯立直線與標準橢圓方程的一些通用中間步驟供參考，讀者可以在解題時對照其中的係數，減少計算失誤。 橢圓畫法[year] 說明解析幾何雖然涉及龐大計算量，但可以通過巧妙的代換方法適當簡化問題，而不是一味硬算出所有結果。 使學生在解題過程中體會設而不求、整體代換這種數學思想的巧妙與優雅。 不難發現不論是焦點在x軸還是在y軸，標準橢圓的長軸長度永遠是2a，短軸長度永遠是2b。